Question

11．函数f（x）=lnx-ax+1（a为实常数）在x=1处的切线与直线y=2016平行．
（1）求a的值；   
（2）求f（x）的单调区间；
（3）证明当x∈（1，+∞）时，1＜$\frac{x-1}{lnx}$＜x．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，得到f′（1）=0，解出即可；（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（3））由题意可得即证lnx＜x-1＜xlnx．运用（1）的单调性可得lnx＜x-1，设F（x）=xlnx-x+1，x＞1，求出单调性，即可得到x-1＜xlnx成立．

解答 解：（1）∵f（x）=lnx-ax+1，x＞0，
∴${f^'}（x）=\frac{1}{x}-a$，
若函数f（x）在x=1处的切线与直线y=2016平行，
即切线的斜率是0，
则f′（1）=1-a=0，则a=1；
（2）由（1）知f（x）=lnx-x+1，f（x）的定义域为（0，+∞），
${f^'}（x）=\frac{1}{x}-1$，令f′（x）=0，解得x=1．
当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．
所以，函数f（x）的单调递增区间为（0，1），递减区间为（1，+∞）；
（3）证明：当x∈（1，+∞）时，1＜$\frac{x-1}{lnx}$＜x，即为lnx＜x-1＜xlnx．
由（2）可得f（x）=lnx-x+1在（1，+∞）递减，
可得f（x）＜f（1）=0，即有lnx＜x-1；
设F（x）=xlnx-x+1，x＞1，F′（x）=1+lnx-1=lnx，
当x＞1时，F′（x）＞0，可得F（x）递增，即有F（x）＞F（1）=0，
即有xlnx＞x-1，则原不等式成立．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查不等式的证明，注意运用构造函数法，求出导数判断单调性，考查推理和运算能力，属于中档题．