Question

14．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的圆交AC于点E，过点E作圆O的切线交BC于点F．
（1）求证：BC=2EF；
（2）若CE=3OA，求∠EFB的大小．

Answer 1

分析 （1）由题意可知，FB，FE均为圆O的切线，FB=EF，由∠FEC+∠OEA=∠FEC+∠OAC=90°，由∠OAC+∠ACB=90°，∠FEC=∠ACB，EF=FC，BC=BF+FC=2EF；
（2）设OA=1，则CE=3，AB=2，由射影定理可知AB²=AE•AC，求得AE=1，AC=4，则$sin∠ACB=\frac{AB}{AC}=\frac{1}{2}$，由（1）可知，∠FEC=30°，则∠EFB=60°．

解答 解：（1）证明：由题意可知，FB，FE均为圆O的切线，
∴FB=EF，连接BE，OE，易知∠AEB=∠OEF=90°，
∴∠FEC+∠OEA=∠FEC+∠OAC=90°，
又∠OAC+∠ACB=90°，
∴∠FEC=∠ACB，
∴EF=FC，
∴BC=BF+FC=EF+EF=2EF…（5分）
（2）不妨设OA=1，则CE=3，AB=2，
在Rt△ABC中，由射影定理可知，AB²=AE•AC，2²=AE•（AE+3），
∴AE=1，
∴AC=4，则$sin∠ACB=\frac{AB}{AC}=\frac{1}{2}$，
∴∠ACB=30°，
由（1）可知，∠FEC=30°，
∴∠EFB=60°．…（10分）

点评 本题考查切线的性质，射影定理的应用，弦切角的性质，等腰三角形的性质，考查数形结合思想，属于中档题．