Question

6．若抛物线C₁：y²=2px的准线为x=-1，椭圆C₂：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的一个焦点与抛物线C₁的焦点重合，且以原点为圆心，椭圆C₂的短半轴长为半径的圆与直线y=x+$\sqrt{2}$相切．
（1）求椭圆C₂的离心率；
（2）若0为坐标原点，过点（2，0）的直线l与椭圆C₂相交于不同两点A、B，且椭圆C₂上一点E满足t$\overrightarrow{OE}$-$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{0}$，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）椭圆C₂中，c=1，b=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1+1}}$=1，a=$\sqrt{2}$，则椭圆C₂的离心率；
（2）由题意知直线l的斜率存在，设出直线l方程为y=k（x-2），再设P（x₀，y₀），将直线方程代入椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，由判别式大于0求得k的范围，利用根与系数关系结合t$\overrightarrow{OE}$-$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{0}$，求出t与k的关系后由k得范围可得t的范围．

解答 解：（1）由已知，抛物线C₁的焦点为（1，0）-------（2分）
故椭圆C₂中，c=1，b=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1+1}}$=1，a=$\sqrt{2}$-------（4分）
故离心率为e=$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．-------（5分）
（2）由已知，直线l的斜率显然存在，设其方程为y=k（x-2），联立椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{2}$+$\frac{{y}^{2}}{1}$=1得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0．由△＞0得k²＜$\frac{1}{2}$
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），E（x₀，y₀）则有：
x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{8{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$-------（7分）
由已知 t$\overrightarrow{OE}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$，得t（x₀，y₀）=（x₁+x₂，y₁+y₂）
x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{t}$$\frac{8{k}^{2}}{t（1+2{k}^{2}）}$，y₀=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{t}$$\frac{1}{t}$[k（x₁+x₂）-4k]=$\frac{-4k}{t（1+2{k}^{2}）}$
将点E代入椭圆得[$\frac{8{k}^{2}}{t（1+2{k}^{2}）}$]²+2[$\frac{-4k}{t（1+2{k}^{2}）}$]²=2
得到16k²=t²（1+k²）-------（9分）
故t²=$\frac{16{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{16}{\frac{1}{{k}^{2}}+2}$＜$\frac{16}{2+2}$=4，故-2＜t＜2为所求．-------（13分）

点评 本题主要考查椭圆方程与性质，考查了直线与抛物线的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，是处理这类问题的最为常用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考生具备较强的运算推理的能力，是压轴题．