Question

1．已知函数f（x）是R上的偶函数，若对于x≥0，都有f（x+2）=-f（x），且当x∈[0，2）时，f（x）=log₈（x+1），则f（-2013）+f（2014）的值为$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 根据条件便可得出函数f（x）当x≥0时，f（x）为周期为4的函数，且f（x）为偶函数，从而可得出f（-2013）+f（2014）=f（1）+f（2），而由f（x+2）=-f（x）可以得出f（2）=f（0），这样带入x∈[0，2）时的解析式便可求出f（1）+f（2）的值，从而得出答案．

解答 解：f（x）=-f（x+2）=-[-f（x+4）]=f（x+4）；
∴x≥0时，f（x）是周期为4的函数；
又f（x）为偶函数；
∴f（-2013）+f（2014）=f（2013）+f（2014）
=f（1+503×4）+f（2+503×4）
=f（1）+f（2）
=f（1）+f（-2）
=f（1）-f（0）
=log₈2-log₈1
=$\frac{1}{3}$．
故答案为：$\frac{1}{3}$．

点评 考查偶函数的定义，周期函数的定义，以及已知函数求值的方法．