Question

2．已知幂函数f（x）=x${\;}^{\frac{1}{{m}^{2}+m}}$（m∈N⁺）．
（1）试确定该函数的定义域，并判断该函数在其定义域上的单调性（不需证明）；
（2）若该函数经过点（2，$\sqrt{2}$），试确定m的值，并求出满足条件f（2-a）＞f（a-1）的实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）判断幂函数的指数，然后求解函数的定义域，说明单调性即可．
（2）利用函数经过的点，求出m，即可得到函数的解析式，利用函数的单调性列出不等式求解即可．

解答 解：（1）m²+m=m（m+1）为偶数，定义域为[0，+∞），在定义域内为增函数．（6分）
（2）该函数经过点（2，$\sqrt{2}$），
可得：$\sqrt{2}$=${2}^{\frac{1}{{m}^{2}+m}}$，
解得：m=1，f（x）=${x}^{\frac{1}{2}}$，（8分）
因为f（2-a）＞f（a-1）
所以$\left\{\begin{array}{l}2-a≥0\\ a-1≥0\\ 2-a＞a-1\end{array}\right.$，
a的取值范围是[1，$\frac{3}{2}$）．（12分）

点评 本题考查幂函数的简单性质的应用，考查计算能力．