题目内容

实数x，y满足 $数学公式$ ，则2x+y的最大值为________．

$\text{[math]}$
分析：令t=2x+y，可得y=t-2x，代入已知等式并整理成关于x的一元二次方程形式．根据关于x的方程有实数根，运用根的判别式建立关于t的不等式，解之即可得到实数t的取值范围，从而得到2x+y的最大值．
解答：令t=2x+y，可得y=t-2x，代入 $\text{[math]}$ ，
得x²+ $\text{[math]}$ （t-2x）²=1
化简整理，得2x²-tx+ $\text{[math]}$ t²-1=0
∵方程2x²-tx+ $\text{[math]}$ t²-1=0有实数根
∴△=t²-4×2×（ $\text{[math]}$ t²-1）≥0，整理得t²≤8，
解之得- $\text{[math]}$ ≤t≤ $\text{[math]}$
因此，t的最大值为 $\text{[math]}$ ，即2x+y的最大值为 $\text{[math]}$
故选： $\text{[math]}$
点评：本题给出关于x、y的二次方程，求2x+y的最大值．着重考查了一元二次方程根的判别式、二次不等式的解法等知识，属于基础题．化二元方程为一元方程，运用根的判别式解题，是本题得到解决的关键所在．