Question

10．探究：要使下列事实成立，非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$应分别满足什么条件？
（1）$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$共线；
（2）$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$平分$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$b所成的角；
（3）|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$$-\overrightarrow{b}$|；
（4）|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow{b}$|；
（5）|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow{b}$|．

Answer 1

分析 根据平面向量线性运算的几何意义得出结论．

解答 解：设$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$，则$\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$．
（1）若$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$共线，则O，A，B，C四点共线，即$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$共线．
（2）若$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$平分$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$所成的角，则四边形OACB是菱形，∴$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|$，或$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$方向相同．
（3）若|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$$-\overrightarrow{b}$|，则四边形OACB是长方形，∴$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{b}$．
（4）若|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow{b}$|，则$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$方向相同．
（5）若|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow{b}$|，则$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$方向相反．

点评 本题考查了平面向量加减运算的几何意义，属于基础题．