Question

（本小题满分12分）已知椭圆：（）的长半轴长为2，离心率为，左右焦点分别为，．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若直线与椭圆交于，两点，与以，为直径的圆交于，两点，且满足，求直线的方程．

Answer 1

（Ⅰ） ；

（Ⅱ） 直线的方程为或.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由题设可知，结合即可求得从而得到椭圆的标准方程；

（Ⅱ） 由题设，以为直径的圆的方程为，利用原点到直线的距离将弦CD的长表示为 的函数，类似地，利用直线与椭圆的位置关系，结合方程组消去 所得的一元二次方程和韦达定理将线段AB的长也表示成 的函数，并由确定的值，从而得到所求的直线方程.

试题解析：（Ⅰ）由题设知 2分

解得

∴ 椭圆的方程为． 4分

（Ⅱ）由题设，以为直径的圆的方程为， 5分

∴ 圆心的直线的距离，由得．（*） 6分

∴ ． 7分

设由，得， 8分

由求根公式可得． 9分

∴ ． 10分

由得， 解得，满足（*）． 11分

∴ 直线的方程为或． 12分

考点：1、椭圆的标准方程与简单几何性质；2、直线与圆的位置关系；3、直线与椭圆的位置关系综合问题.