Question

9．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠DAB=$\frac{π}{2}$，AC与BD交于点O，AD=6，AB=2$\sqrt{3}$，BC=2．Q为PA上一点．
（I）求证：面PAC⊥面BDQ；
（Ⅱ）若PC∥平面BDQ，且PA=6，求三棱锥P-BDQ的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由PA⊥底面ABCD，得PA⊥BD，求解直角三角形得CO²+OB²=BC²，则BD⊥AC，再由线面垂直的判定与面面垂直的判定得面BDQ⊥面PAC；
（Ⅱ）连接OQ，由PC∥面BDQ，得PC∥OQ，由平行线截线段成比例可得$AQ=\frac{9}{2}$，$PQ=\frac{3}{2}$，再由V_P-BDQ=V_P-ABD-V_Q-ABD求得三棱锥P-BDQ的体积．

解答 证明：（Ⅰ）∵PA⊥底面ABCD，
∴PA⊥BD，…（1分）
∵∠ABC=∠DAB=$\frac{π}{2}$，AD=6，AB=2$\sqrt{3}$，BC=2，
∴AC=4，BD=$4\sqrt{3}$，
在△COB中，
∵CO=$\frac{1}{4}AC=1$，$BO=\frac{1}{4}BD=\sqrt{3}$，
∴CO²+OB²=BC²，则BD⊥AC，…（4分）
∴BD⊥面PAC，BD?面BDQ，
∴面BDQ⊥面PAC；…（6分）
解：（Ⅱ）连接OQ，
∵PC∥面BDQ，面BDQ∩面PCA=OQ，
∴PC∥OQ，…（9分）
∴$\frac{AQ}{PQ}=\frac{AO}{OC}=\frac{3}{1}$，则$AQ=\frac{9}{2}$，$PQ=\frac{3}{2}$，…（10分）
∴V_P-BDQ=V_P-ABD-V_Q-ABD=$\frac{1}{3}{S}_{△ABD}•（AP-AQ）=\frac{1}{3}{S}_{△ABD}•PQ=3\sqrt{3}$．
…（12分）

点评 本题考查面面垂直的判断，训练了利用等积法求三棱锥的体积，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．