Question

20．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}|{{{log}_2}x}|，0＜x≤2\\ sin\frac{πx}{4}，2＜x≤10\end{array}$．
（I）设函数g（x）=f（x）-1，求函数g（x）的零点；
（II）若函数f（x₁）=f（x₂）=f（x₃）=f（x₄），且0＜x₁＜x₂＜x₃＜x₄≤10，求$\frac{{（{{x_3}-1}）（{{x_4}-1}）}}{{{x_1}•{x_2}}}$的取值范围．

Answer 1

分析 （I）分类讨论，当0＜x≤2时，由|log₂x|=1；当2＜x≤10时，由$sin\frac{πx}{4}=1$，即可求函数g（x）的零点；
（II）画出函数f（x）的图象，确定x₁x₂=1，x₃+x₄=12，2＜x₃＜x₄＜10，由此可得则$\frac{{（{{x_3}-1}）（{{x_4}-1}）}}{{{x_1}•{x_2}}}$的取值范围．

解答 （本题满分为12分）
解：（Ⅰ）当0＜x≤2时，由|log₂x|=1解得x=2或$x=\frac{1}{2}$；
当2＜x≤10时，由$sin\frac{πx}{4}=1$解得x=10，
∴函数g（x）有3个零点，分别为x=2，$x=\frac{1}{2}或x=10$．…（4分）
（Ⅱ）设f（x₁）=f（x₂）=f（x₃）=f（x₄）=a，由题意可知函数f（x）的图象与直线y=a交于四个不同的点．
在同一坐标系内作出两个函数的图象：

结合图象，由题意可知，x₃+x₄=12；…（7分）
由|log₂x₁|=|log₂x₂|知，-log₂x₁=log₂x₂，即x₁•x₂=1．…（9分）
若函数f（x）的图象与直线y=a图象始终有四个交点，则2＜x₃＜4．…（10分）
故$\frac{{（{{x_3}-1}）（{{x_4}-1}）}}{{{x_1}•{x_2}}}=（{{x_3}-1}）（{11-{x_3}}）=-{（{{x_3}-6}）^2}+25$…（11分）
因2＜x₃＜4，所以，$9＜-{（{{x_3}-6}）^2}+25＜21$．
所以，$\frac{{（{{x_3}-1}）（{{x_4}-1}）}}{{{x_1}•{x_2}}}$的取值范围为（9，21）．…（12分）

点评 本小题主要考查分段函数的解析式求法及其图象的作法、函数的值域的应用、函数与方程的综合运用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．