Question

6．正三棱柱A₁B₁C₁-ABC，$AC=2，C{C_1}=\sqrt{2}$，M，N为A₁C₁，A₁B₁的中点，则异面直线AM与BN所成角（　　）

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{4}$
• C． $\frac{π}{3}$
• D． $\frac{π}{2}$

Answer 1

分析 以A为原点，在平面ABC内过A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AM与BN所成角．

解答 解：以A为原点，在平面ABC内过A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AA₁为z轴，
建立空间直角坐标系，
A（0，0，0），M（0，1，$\sqrt{2}$），B（$\sqrt{3}$，1，0），N（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，$\sqrt{2}$），
$\overrightarrow{AM}$=（0，1，$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{BN}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$，$\sqrt{2}$），
设异面直线AM与BN所成角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{BN}|}{|\overrightarrow{AM}|•|\overrightarrow{BN}|}$=$\frac{\frac{3}{2}}{\sqrt{3}•\sqrt{3}}$=$\frac{1}{2}$，
∴$θ=\frac{π}{3}$，
∴异面直线AM与BN所成角为$\frac{π}{3}$．
故选：C．

点评 本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．