Question

16．已知A，B是椭圆$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左，右顶点，点C在该椭圆上，在△ABC中，tanA=$\frac{2}{3}$，tanB=$\frac{3}{8}$，则该椭圆的离心率为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\sqrt{3}-1$
• C． $\frac{{\sqrt{6}}}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

Answer 1

分析 设A（-a，0），B（a，0），C（m，n），（m＞0，n＞0），运用直线的斜率公式，求出直线CA，CB的斜率，解得C的坐标，代入椭圆方程，可得a=2b，由a，b，c的关系和离心率公式计算即可得到所求值．

解答 解：设A（-a，0），B（a，0），C（m，n），（m＞0，n＞0），
由△ABC中，tanA=$\frac{2}{3}$，tanB=$\frac{3}{8}$，
可得直线CA的斜率为$\frac{n}{m+a}$=$\frac{2}{3}$，
直线CB的斜率为$\frac{n}{m-a}$=-$\frac{3}{8}$，
解得m=$\frac{7}{25}$a，n=$\frac{12}{25}$a，
将C（$\frac{7}{25}$a，$\frac{12}{25}$a）代入椭圆方程，可得：
$\frac{49{a}^{2}}{625{a}^{2}}$+$\frac{144{a}^{2}}{625{b}^{2}}$=1，
化简可得a=2b，即b=$\frac{1}{2}$a，
可得c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
即e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故选：D．

点评 本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用直线的斜率公式和点满足椭圆方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题．