Question

已知函数f（x）=x²+（a+1）x-b²-2b，且f（x-1）=f（2-x），又知f（x）≥x恒成立．求：
（1）y=f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）=log₂[f（x）-x-1]，求函数g（x）的单调区间．

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由f（x-1）=f（2-x），得出f（x）的对称轴，求出a的值，再由f（x）≥x恒成立，△≤0，求出b的值即可；
（2）求出g（x）的解析式，利用复合函数的单调性，判断g（x）的单调性与单调区间．

解答： 解：（1）∵f（x-1）=f（2-x），
∴f（x）的对称轴为x=

1

2

；  …（1分）
又∵函数f（x）=x²+（a+1）x-b²-2b，
∴-

a+1

2

=

1

2

，
解得a=-2，
∴f（x）=x²-x-b²-2b；  …（1分）
又∵f（x）≥x恒成立，
即x²-x-b²-2b≥x恒成立，
也即x²-2x-b²-2b≥0恒成立；
∴△=（-2）²-4（-b²-2b）≤0，…（1分）
整理得b²+2b+1≤0，
即（b+1）²≤0；
∴b=-1，…（2分）
∴f（x）=x²-x+1；   …（1分）
（2）∵g（x）=log₂[x²-x+1-x-1]=log₂（x²-2x），…（1分）
令u=x²-2x，则g（u）=log₂u；
由u=x²-2x＞0，得x＞2或x＜0，…（2分）
当x∈（-∞，0）时，u=x²-2x是减函数，
当x∈（2，+∞）时，u=x²-2x是增函数；  …（2分）
又∵g（u）=log₂u在其定义域上是增函数，…（1分）
∴g（x）的增区间为（2，+∞），减区间为（-∞，0）．   …（2分）

点评：本题考查了函数的图象与性质的应用问题，也考查了不等式恒成立的应用问题，是综合性题目．