Question

7．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及解析式；
（Ⅱ）设g（x）=f（x）-cos2x，求函数g（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据图象求出A，计算周期T，将x的值代入表达式求出对应的系数，求出函数的解析式即可；
（Ⅱ）求出g（x）的表达式，将其化简，根据三角函数的性质求出其最小值即可．

解答 解：（Ⅰ）由图可知A=1，
$\frac{T}{2}=\frac{2}{3}π-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，
∴T=π，ω=2----------------------（2分）
当$x=\frac{π}{6}$时，f（x）=1，
可得$sin（{\frac{π}{3}+ϕ}）=1$，
∵$|ϕ|＜\frac{π}{2}$，
∴$ϕ=\frac{π}{6}$，
∴$f（x）=sin（{2x+\frac{π}{6}}）$-------------------------------------------（5分）
（Ⅱ）$g（x）=f（x）-cos2x=sin（{2x+\frac{π}{6}}）-cos2x$
=$sin2xcos\frac{π}{6}+cos2xsin\frac{π}{6}-cos2x$
=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x-\frac{1}{2}cos2x$
=$sin（{2x-\frac{π}{6}}）$-------------------------------------------------（7分）
∵$0≤x≤\frac{π}{2}$∴$-\frac{π}{6}≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{5π}{6}$-------------------------------（8分）
∵$-\frac{1}{2}≤sin（{2x-\frac{π}{6}}）≤1$，
∴g（x）的最小值为$-\frac{1}{2}$---------------------------（10分）

点评 本题考查了求三角函数的解析式，考查三角函数的性质，是一道中档题．