Question

18．已知f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，且对任意正数x，y都满足f（xy）=f（x）+f（y），且当x＞1时，f（x）＞0，f（3）=1．
（1）求几何A={x|f（x）＞f（x-1）+2}；
（2）比较f（a+1-lna）与f（$\frac{1}{a}$+1+lna）的大小，并说明理由．

Answer 1

分析 形如f（xy）=f（x）+f（y）的函数模型，它的原型就是对数函数y=log_ax；
 （1）是通过抽象函数的单调性，脱掉”f“，解不等式； 
 （2）由f（x）的单调性，去掉”f“，实际上就是比较，a+1-lna与$\frac{1}{a}$+1+lna的大小，可用做差法．

解答 解：（1）设x₁＞x₂＞0，则由条件可知f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）＞0，又∵f（x₁）=f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}•{x}_{2}$）=f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）+f（x₂）＞f（x₂），
∴f（x）是定义在（0，+∞）上的函数增函数．
 由f（x）＞f（x-1）+2，且f（9）=f（3）+f（3）=2，得到f（x）＞f（，9（x-1）），即$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{x-1＞0}\\{x＞9x-9}\end{array}\right.$，∴1＜x＜$\frac{9}{8}$．
∴集合A═{x|1＜x＜$\frac{9}{8}$}．
（2）由x＞0时，lnx＞x+1可知，a+1-lna＞0，$\frac{1}{a}$+1+lna＞0．
  a+1-lna-（$\frac{1}{a}$+1+lna）=a-$\frac{1}{a}$-2lna，
记 g（a）=a-$\frac{1}{a}$-2lna，g′（a）=1-$\frac{1}{{a}^{2}}$-$\frac{2}{a}$=（ $\frac{1}{a}-1$）²≥0，g（a）=a-$\frac{1}{a}$-2lna在（0，+∞）上是单调增函数，且g（1）=0，
∴当a＞1时，a+1-lna＞$\frac{1}{a}$+1+lna，f（a+1-lna）＞f（$\frac{1}{a}$+1+lna）；
当a＜1时，a+1-lna＜$\frac{1}{a}$+1+lna，f（a+1-lna）＜f（$\frac{1}{a}$+1+lna）；
当a=1时，a+1-lna=$\frac{1}{a}$+1+lna，f（a+1-lna）=f（$\frac{1}{a}$+1+lna）；
综上所述：当a＞1时，a+1-lna＞$\frac{1}{a}$+1+lna，f（a+1-lna）＞f（$\frac{1}{a}$+1+lna）； 当a＜1时，a+1-lna＜$\frac{1}{a}$+1+lna，f（a+1-lna）＜f（$\frac{1}{a}$+1+lna）；
 当a=1时，a+1-lna=$\frac{1}{a}$+1+lna，f（a+1-lna）=f（$\frac{1}{a}$+1+lna）．

点评 本题考查了抽象函数的单调性证明方法（定义法）的处理技巧，解抽象函数不等式时要注意定义域这是易错点，以及用作差法比较代数式大小（用到分类讨论），属于中档题．