Question

3．设向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$不共线，t∈R，
$（1）记\overrightarrow{OA}=\overrightarrow a，\overrightarrow{OB}=t\overrightarrow b，\overrightarrow{OC}=\frac{1}{3}（{\overrightarrow a+\overrightarrow b}），若A，B，C三点共线，求t的值$；$（2）若|{\overrightarrow a}|=|{\overrightarrow b}|=1，＜\overrightarrow a，\overrightarrow b＞=12{0^o}，则t为何值时，|{\overrightarrow a-t\overrightarrow b}|最小$．

Answer 1

分析 （1）根据平面向量的线性运算与共线定理，得出$\overrightarrow{AB}$=λ$\overrightarrow{AC}$，λ∈R，列出方程即可求出t的值；
（2）平面平面向量的模长公式，结合二次函数的性质，即可求出t为何值时|$\overrightarrow{a}$-t$\overrightarrow{b}$|的值最小．

解答 解：（1）向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$不共线，t∈R，$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=t$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{OC}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$），
∴$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$=t$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OA}$=-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{b}$；
又A、B、C三点共线，则$\overrightarrow{AB}$=λ$\overrightarrow{AC}$，λ∈R，
∴t$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$=λ（-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{b}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{t=-\frac{2}{3}λ}\\{\frac{1}{3}λ=-1}\end{array}\right.$，
解得λ=-3，t=2；
（2）|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=1，且夹角＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=120°，
∴${（\overrightarrow{a}-t\overrightarrow{b}）}^{2}$=${\overrightarrow{a}}^{2}$-2t$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+4t²${\overrightarrow{b}}^{2}$
=1-2tcos120°+4t²
=4t²+t+1
=4${（t+\frac{1}{8}）}^{2}$+$\frac{15}{16}$，
∴当t=-$\frac{1}{8}$时，|$\overrightarrow{a}$-t$\overrightarrow{b}$|的值最小．

点评 本题考查两个向量共线的性质以及向量模长公式的应用问题，是综合性题目．