Question

17．直线y=kx-4，k＞0与抛物线y²=2$\sqrt{2}$x交于A，B两点，与抛物线的准线交于点C，若AB=2BC，则k=（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\frac{3\sqrt{2}}{2}$
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． $\frac{5\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 将直线方程代入抛物线方程，利用韦达定理及相似三角形的性质，即可求得x₁，x₂，由x₁x₂=$\frac{16}{{k}^{2}}$，代入计算即可求得k的值．

解答 解：如图，过AB两点作抛物线的准线抛物线的准线的垂线，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=2\sqrt{2}x}\\{y=kx-4}\end{array}\right.$，整理得：k²x²-（8k+2$\sqrt{2}$）x+16=0，
则x₁+x₂=$\frac{8k+2\sqrt{2}}{{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{16}{{k}^{2}}$，
显然△CB′B∽△CA′A，则$\frac{B′B}{A′A}$=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{1}{3}$，
由抛物线的定义得：$\frac{B′B}{A′A}$=$\frac{{x}_{2}+\frac{p}{2}}{{x}_{1}+\frac{p}{2}}$=$\frac{2{x}_{2}+\sqrt{2}}{2{x}_{1}+\sqrt{2}}$，
∴$\frac{2{x}_{2}+\sqrt{2}}{2{x}_{1}+\sqrt{2}}$=$\frac{1}{3}$，整理得：4x₂=（x₁+x2）-$\sqrt{2}$，
∴x₂=$\frac{4k+\sqrt{2}}{2{k}^{2}}$-$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
则x₁=$\frac{12k+3\sqrt{2}}{2{k}^{2}}$+$\frac{\sqrt{2}}{4}$，由x₁x₂=$\frac{16}{{k}^{2}}$，则（$\frac{12k+3\sqrt{2}}{2{k}^{2}}$+$\frac{\sqrt{2}}{4}$）（$\frac{4k+\sqrt{2}}{2{k}^{2}}$-$\frac{\sqrt{2}}{4}$）=$\frac{16}{{k}^{2}}$，由k＞，0解得：k=$\sqrt{2}$，
或将选项一一代入验证，只有A成立，
故选：A．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，相似三角形的性质，计算量大，计算过程复杂，考查数形结合思想，属于中档题．