Question

16．已知公差不为0的等差数列{a_n}的前n项和为S_n，S₇=70且a₁，a₂，a₆成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设${b_n}=\frac{{2{S_n}}}{n}$，求数列$\left\{\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}\right\}前的n$项和T_n．

Answer 1

分析 （1）公差d不为0的等差数列{a_n}的前n项和为S_n，S₇=70且a₁，a₂，a₆成等比数列．可得：${a}_{2}^{2}={a}_{1}{a}_{6}$，即$（{a}_{1}+d）^{2}={a}_{1}$（a₁+5d），7a₁+$\frac{7×6}{2}d$=70，联立解得即可得出．
（2）由（1）可得：S_n=$\frac{n（3n-2+1）}{2}$=$\frac{n（3n-1）}{2}$，可得${b_n}=\frac{{2{S_n}}}{n}$=3n-1，$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{（3n-1）（3n+2）}$=$\frac{1}{3}（\frac{1}{3n-1}-\frac{1}{3n+2}）$．利用裂项求和方法即可得出．

解答 解：（1）公差d不为0的等差数列{a_n}的前n项和为S_n，S₇=70且a₁，a₂，a₆成等比数列．
∴${a}_{2}^{2}={a}_{1}{a}_{6}$，即$（{a}_{1}+d）^{2}={a}_{1}$（a₁+5d），7a₁+$\frac{7×6}{2}d$=70，
联立解得a₁=1，d=3．
∴a_n=1+3（n-1）=3n-2．
（2）由（1）可得：S_n=$\frac{n（3n-2+1）}{2}$=$\frac{n（3n-1）}{2}$，∴${b_n}=\frac{{2{S_n}}}{n}$=3n-1，
∴$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{（3n-1）（3n+2）}$=$\frac{1}{3}（\frac{1}{3n-1}-\frac{1}{3n+2}）$．
∴数列$\left\{\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}\right\}前的n$项和T_n=$\frac{1}{3}[（\frac{1}{2}-\frac{1}{5}）+（\frac{1}{5}-\frac{1}{8}）$+…+$（\frac{1}{3n-1}-\frac{1}{3n+2}）]$
=$\frac{1}{3}（\frac{1}{2}-\frac{1}{3n+2}）$
=$\frac{n}{6n+4}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．