Question

5．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，四个顶点构成的四边形的面积为4，过原点的直线l（斜率不为零）与椭圆C交于A，B两点，F₁，F₂为椭圆的左、右焦点，则四边形AF₁BF₂的周长为（　　）

• A． 4
• B． $4\sqrt{3}$
• C． 8
• D． $8\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由题意可知：离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，即4c²=3a²，根据菱形的面积公式可知S=$\frac{1}{2}$×2a×2b=4，即ab=2，由a²=c²+b²，解得：a=2，b=1，由椭圆的定义可知：四边形AF₁BF₂的周长4a=8．

解答 解：由题意可知：椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$焦点在x轴上，
由椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，即4c²=3a²，
由四个顶点构成的四边形的面积为4，根据菱形的面积公式可知S=$\frac{1}{2}$×2a×2b=4，即ab=2，
由a²=c²+b²，解得：a=2，b=1，
则椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，
由椭圆的定义可知：四边形AF₁BF₂的周长4a=8，
故选C．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查椭圆的定义的应用，考查计算能力，属于中档题．