Question

2．若平面α的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（4，1，1），直线l的一个方向向量为$\overrightarrow{a}$=（-2，-3，3），则l与α所成角的正弦值为（　　）

• A． $-\frac{{\sqrt{11}}}{11}$
• B． $\frac{{\sqrt{11}}}{11}$
• C． $\frac{{\sqrt{110}}}{11}$
• D． $\frac{4\sqrt{11}}{33}$

Answer 1

分析 根据直线l与平面α所成的角的正弦值为|cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{a}$＞|，求出即可．

解答 解：∵$\overrightarrow{n}$=（4，1，1），$\overrightarrow{a}$=（-2，-3，3），
∴直线l与平面α所成的角的正弦值为
|cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{a}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{n}|×|\overrightarrow{a}|}$|=|$\frac{4×（-2）+1×（-3）+1×3}{\sqrt{{4}^{2}{+1}^{2}{+1}^{2}}×\sqrt{{（-2）}^{2}{+（-3）}^{2}{+3}^{2}}}$|=$\frac{4\sqrt{11}}{33}$．
故选：D．

点评 本题考查了线面角的计算公式、向量夹角公式、数量积运算性质，也考查了计算能力，是基础题．