Question

14．已知有限集A={a₁，a₂，a₃，…，a_n}（n≥2，n∈N）．如果A中元素a_i（i=1，2，3，…n）满足a₁a₂…a_n=a₁+a₂+…+a_n，就称A为“创新集”，给出下列结论：
①集合$\left\{{\left.{3+\sqrt{3}，3-\sqrt{3}}\right\}}$是“创新集”；
②若集合{2，a²}是“创新集”，则a=$\sqrt{2}$；
③若a₁，a₂∈R，且{a₁，a₂}是“创新集”，则a₁a₂＞4；
④若a₁，a₂∈N^*“创新集”A有且只有一个，且n=3．
其中正确的结论是①③④．（填上你认为所有正确的结论序号）

Answer 1

分析 根据已知中“创新集”的定义，结合韦达定理及反证法，逐一判断四个结论的正误，进而可得答案

解答 解：①∵（3+$\sqrt{3}$）（3-$\sqrt{3}$）=9-3=6=3+$\sqrt{3}$+3-$\sqrt{3}$=6，满足新定义集合；故①是正确的；
②若集合{2，a²}是“创新集”，则2+a²=2a²，解得a=$±\sqrt{2}$；故a=$\sqrt{2}$错误；故②错误；
③若a₁，a₂∈R，且{a₁，a₂}是“创新集”，
不妨设a₁+a₂=a₁a₂=t，
则由韦达定理知a₁，a₂是一元二次方程x²-tx+t=0的两个根，
由△＞0，可得t＜0，或t＞4，故②错；
③不妨设A中a₁＜a₂＜a₃＜…＜a_n，
由a₁a₂…a_n=a₁+a₂+…+a_n＜na_n，得a₁a₂…a_n-1＜n，当n=2时，
即有a₁＜2，
∴a₁=1，于是1+a₂=a₂，a₂无解，即不存在满足条件的“创新集”A，故③正确．
当n=3时，a₁a₂＜3，故只能a₁=1，a₂=2，求得a₃=3，于是“创新集”A只有一个，为{1，2，3}．
当n≥4时，由a₁a₂…a_n-1≥1×2×3×…×（n-1），即有n＞（n-1）!，
也就是说“创新集”A存在的必要条件是n＞（n-1）!，事实上，（n-1）!≥（n-1）（n-2）=n²-3n+2=（n-2）²-2+n＞2，矛盾，
∴当n≥4时不存在复活集A，故④正确．
故答案为：①③④

点评 本题考查的知识点是元素与集合的关系，正确理解已知中的新定义“创新集”的含义是解答的关键，难度较大．