Question

12．设常数a∈R，若函数f（x）=（a-x）|x|存在反函数f^-1（x）．
（1）求证：a=0，并求出反函数f^-1（x）；
（2）若关于x的不等式f^-1（x²+m）＜f（x）对一切x∈[-2，2]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据f（x）存在反函数f^-1（x），得出f（x）是定义域上的单调函数，求出a的值；
（2）分类讨论，分离参数，即可求实数m的取值范围．

解答 （1）证明：∵函数f（x）=（a-x）|x|=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+ax，x≥0}\\{{x}^{2}-ax，x＜0}\end{array}\right.$，
且f（x）存在反函数f^-1（x），
∴f（x）是定义域R的单调增函数，
∴a=0，
（2）解：由（1）可得f（x）=-x|x|，
x≥0，f（x）=-x²，f^-1（x）=$\sqrt{-x}$．x＜0，f（x）=x²，f^-1（x）=-$\sqrt{x}$，
-2≤x≤0，x²+m＜0，不等式f^-1（x²+m）＜f（x）可化为$\sqrt{-{x}^{2}-m}$＜x²，
∴m＜-x²，且m＞-x²-x⁴，
∴m＜-4且m＞0，不成立．
-2≤x≤0，x²+m＞0，不等式f^-1（x²+m）＜f（x）可化为-$\sqrt{{x}^{2}+m}$＜x²，
∴m＞-x²，∴m＞0；
0≤x≤2，x²+m＜0，不等式f^-1（x²+m）＜f（x）可化为$\sqrt{-{x}^{2}-m}$＜-x²，不成立．
0≤x≤2，x²+m＞0，不等式f^-1（x²+m）＜f（x）可化为-$\sqrt{{x}^{2}+m}$＜-x²，
∴m＞-x²，且m＞-x²+x⁴，
∴m＞0且m＞12，∴m＞12．
综上所述，m＞12．

点评 本题考查反函数，考查函数的单调性，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．