Question

已知：如图，在Rt△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为E，连接EA交⊙O于点F．求证：
（Ⅰ）DE是⊙O的切线；
（Ⅱ）BE•CE=EF•EA．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段,圆的切线的判定定理的证明

专题：推理和证明

分析：（Ⅰ）连结OD，由已知得∠ODA=∠OAD，∠OAD=∠C，从而∠ODA=∠C，进而DO∥BC，由此能证明DE是⊙O的切线．
（Ⅱ）连接BD，由已知得∠BDA=90°，∠BDC=90°，DE²=BE•CE，由此利用切割线定理能证明BE•CE=EF•BA．

解答： 证明：（Ⅰ）连接OD，∵OD=OA，∴∠ODA=∠OAD，
又∵AB=BC，∴∠OAD=∠C，∴∠ODA=∠C，∴DO∥BC，
又∵DE⊥BC，∴DO⊥DE，
∴DE是⊙O的切线．
（Ⅱ）连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠BDA=90°，
∴∠BDC=90°，∵DE⊥BC，∴DE²=BE•CE，
又∵DE切⊙O于点D，EFA是⊙O的割线．
∴DE²=EF•BA，
∴BE•CE=EF•BA．

点评：本小题主要考查与圆有关的比例线段、三角形相似、弦切角定理、切割线定理等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．