题目内容

已知曲线C： $数学公式$ ，直线l：y=x，在曲线C上有一个动点P，过点P分别作直线l和y轴的垂线，垂足分别为A，B．再过点P作曲线C的切线，分别与直线l和y轴相交于点M，N，O是坐标原点．若△ABP的面积为 $数学公式$ ，则△OMN的面积为________．

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分析：由题意易得B的坐标，写出垂线的方程联立y=x可得A坐标，进而可得△ABP的面积，可求a，然后可写出切线的方程，进而可得M、N的坐标，可表示出△OMN的面积，代入a值可得答案．
解答：由题意设点P（x₀， $\text{[math]}$ ），则B（0， $\text{[math]}$ ），
又与直线l垂直的直线向斜率为-1，故方程为y-（ $\text{[math]}$ ）=-（x-x₀）
和方程y=x联立可得x=y= $\text{[math]}$ ，故点A（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），
故△ABP的面积S= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，解得a=2，
又因为 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ，故切线率为 $\text{[math]}$ ，
故切线的方程为y-（ $\text{[math]}$ ）=（ $\text{[math]}$ ）（x-x₀），
令x=0，可得y= $\text{[math]}$ ，故点N（0， $\text{[math]}$ ），
联立方程y=x可解得x=y=2x₀，即点M（2x₀，2x₀），
故△OMN的面积为 $\text{[math]}$ =2a=4，
故答案为：4
点评：本题考查利用导数研究曲线的切线方程，涉及三角形的面积和方程组的求解，属中档题．