Question

2．椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0）的左，右焦点分别为F₁（-1，0），F₂（1，0），点P为椭圆上任意一点，且△PF₁F₂的内切圆面积的最大值为$\frac{1}{3}$π．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）直线l：y=kx+b（k＞0，b＞0）是圆O：x²+y²=3的一条切线，且l与椭圆C交于不同的两点A，B．若弦AB的长为$\frac{4\sqrt{6}}{7}$，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆性质得△PF₁F₂的面积的最大值为b，由题意内切圆的半径r的最大值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，从而$\frac{\sqrt{3}}{3}$（a+1）=b，由此能求出椭圆方程．
（Ⅱ）由直线l与圆O相切，利用圆心到直线的距离得b²=3（k²+1），由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}-12=0}\end{array}\right.$，得：（3+4k²）x²+8kbx+4b²-12=0，再利用韦达定理、椭圆弦长公式，结合题设条件能求出直线l的方程．

解答 解：（Ⅰ）∵椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0）的左，右焦点分别为F₁（-1，0），F₂（1，0），
点P为椭圆上任意一点，且△PF₁F₂的内切圆面积的最大值为$\frac{1}{3}$π，
∴由椭圆性质得△PF₁F₂的面积的最大值为b，
设△PF₁F₂的内切圆的半径为r，
由题意知r的最大值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴△PF₁F₂的面积为$\frac{1}{2}r（|P{F}_{1}|+|P{F}_{2}|+|{F}_{1}{F}_{2}|）$=r（a+1）≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$（a+1），
综上可知$\frac{\sqrt{3}}{3}$（a+1）=b，
又∵a²=1+b²，
∴联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{3}}{3}（a+1）=b}\\{{a}^{2}=1+{b}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，b=$\sqrt{3}$，
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（Ⅱ）∵直线l与圆O相切，∴圆心到直线的距离d=$\frac{b}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{3}$，
∴b²=3（k²+1），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}-12=0}\end{array}\right.$，消去y，得：（3+4k²）x²+8kbx+4b²-12=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{8kb}{3+4{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{b}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
∴|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{4\sqrt{3}k}{3+4{k}^{2}}$=$\frac{4\sqrt{6}}{7}$，
∴k=1，b=$\sqrt{6}$，
∴直线l的方程为$y=x+\sqrt{6}$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、椭圆弦长公式的合理运用．