Question

数列{a_n}为等差数列，a_n为正整数，其前n项和为S_n，数列{b_n}为等比数列，且a₁=3，b₁=1，数列{ban}是公比为64的等比数列，b₂S₂=64．求a_n，b_n．

Answer 1

分析：设{a_n}的公差为d，{b_n}的公比为q，则a_n=3+（n-1）d，bn=qn-1，再由题意可得

ban+1 ban = q3+nd q3+(n-1)d =qd=64=26 S2b2=(6+d)q=64

d为6的因子1，2，3，6之一逐个验证可得答案．

解答：解：设等差数列{a_n}的公差为d，等比数列{b_n}的公比为q，由题意d为正整数，
又a₁=3，b₁=1，所以a_n=3+（n-1）d，bn=qn-1--------（6分）
又因为数列{ban}是公比为64的等比数列，b₂S₂=64，所以

ban+1 ban = q3+nd q3+(n-1)d =qd=64=26 S2b2=(6+d)q=64

由（6+d）q=64知q为正有理数，故d为6的因子1，2，3，6之一，（不写理由扣3分）
经逐个验证可得只有当d=2，q=8时符合题意
故an=3+2(n-1)=2n+1，bn=8n-1-------（15分）

点评：本题为数列求通项的问题，涉及等差等比的通项及正整数的因子及分类讨论的思想，属基础题．