题目内容
16．已知数列{an}是公差为2的等差数列，数列{bn满足bn+1-bn=an，且b2=-18，b3=-24．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）求bn取得最小值时n的值．
分析 （Ⅰ）由已知求得a2，结合公差求得首项，则数列{an}的通项公式可求；
（Ⅱ）把数列{an}的通项公式代入bn+1-bn=an，利用累加法求得bn，结合二次函数求得bn取得最小值时n的值．
解答 解：（Ⅰ）由题意知d=2，
再由bn+1-bn=an，且b2=-18，b3=-24，得a2=b3-b2=-6，
则a1=a2-d=-6-2=-8，
∴an=-8+2（n-1）=2n-10；
（Ⅱ）bn+1-bn=2n-10，
∴b2-b1=2×1-10，
b3-b2=2×2-10，
…
bn-bn-1=2（n-1）-10（n≥2），
累加得：bn=b1+2[1+2+…+（n-1）]-10（n-1）
=b2-a1+2[1+2+…+（n-1）]-10（n-1），
=-10+$2×\frac{n（n-1）}{2}-10（n-1）$=${n}^{2}-11n=（n-\frac{11}{2}）^{2}-\frac{121}{4}$．
∴当n=5或6时，bn取得最小值为b5=b6=-30．
点评 本题考查数列递推式，训练了累加法求数列的通项公式，是中档题．
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