Question

若、是抛物线上的不同两点，弦（不平行于轴）的垂直平分线与轴相交于点，则称弦是点的一条“相关弦”.；

（I）求点的“相关弦”的中点的横坐标；

(II)求点的所有“相关弦”的弦长的最大值。

Answer 1

解：（I）设为点的任意一条“相关弦”，且点，,则

，

弦的垂直平分线方程为，

由题它与轴相交于点

令

所以，

 (Ⅱ)由(Ⅰ)可设中点为，这里

直线的斜率，所以

弦所在直线的方程是，代入中，

整理得（*）

则是方程（*）的两个实根，且，

设点的“相关弦” 的弦长为，则

所以，，所以，