Question

3．如果一个函数f（x）在定义域D中满足：①存在x₁，x₂∈D，且x₁≠x₂，使得f（x₁）=f（x₂）；②任意x₁，x₂∈D，f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）≤$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$，则f（x）可以是（　　）

• A． f（x）=log₂x
• B． f（x）=-x²+2x
• C． f（x）=2^|x|
• D． f（x）=sinx

Answer 1

分析 根据条件分别进行验证，依次进行判断即可．

解答 解：A．f（x）=log₂x为单调递增函数，不满足条件①，
B．∵f（0）=0，f（1）=-1+2=1，f（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{4}+$2×$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{1}{2}$[f（0）+f（1）]=$\frac{1}{2}$，
则f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）≤$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$不成立，不满足条件②，
D．f（x）=sinx的图象不满足条件．比如当x₁=0，x₂=$\frac{π}{2}$时，f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）=f（$\frac{π}{4}$）=sin$\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$=$\frac{1}{2}$（0+1）=$\frac{1}{2}$，不满足条件f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）≤$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$．
故选：C

点评 本题主要考查抽象函数的应用，根据定义转化为进行判断或者使用排除法是解决本题的关键．