Question

如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD＝8，BC＝6，AB＝2，E、F分别在BC、AD上，EF∥AB．现将四边形ABEF沿EF折起，使得平面ABEF 平面EFDC．

(Ⅰ) 当，是否在折叠后的AD上存在一点，且，使得CP∥平面ABEF？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；

(Ⅱ) 设BE＝x，问当x为何值时，三棱锥ACDF的体积有最大值？并求出这个最大值．

 

Answer 1

【解析】

(Ⅰ)假设存在使得满足条件CP∥平面ABEF

在平面ＥＦＤＣ内过点Ｃ作ＣＭ∥ＥＦ交ＤＦ于Ｍ，在平面ＡＤＦ内作直线ＭＰ∥ＡF交ＡＤ于点Ｐ，连ＰＣ　　　　　　　　　　　　　　

∵ＣＭ∥ＥＦ，EＦ平面ＡＢEF，ＣＭ平面ＡＢEF

∴ＣＭ∥平面ＡＢEF　　　　　　　　　　　　　　　　

∵ＰＭ∥ＡＦ，ＡＦ平面ＡＢEF，ＰＭ平面ＡＢEF

∴ＰＭ∥平面ＡＢEF　　　　　　　　　　　　　　　　

又∵ＣＭＰＭ＝Ｍ

∴平面ＡＢＥＦ∥平面PCＭ　　　　　　　　　　　　　

又∵ＰＣ平面ＰＣＭ

∴ＰＣ∥平面ＡＢEF，故点Ｐ就是所求的点　　

又∵ＦＭ＝4，ＭＤ＝2

∴　　　　　　　　　　　　　　

(Ⅱ)因为平面ABEF平面EFDC，平面ABEF平面EFDC＝EF，又AFEF，

所以AF⊥平面EFDC　　　　　　　　　　　　

由已知BE＝x，所以AF＝x　()，则FD＝8x．

∴　　　　　　　　　　

故　

当且仅当，即x＝4时，等号成立　　　　　

所以，当x＝4时，有最大值，最大值为　

解法二：

故

所以，当x＝4时，有最大值，最大值为