Question

8．设函数f（x）=|2x+2|+|2x-4|．
（1）求不等式f（x）＞8的解集；
（2）若存在x∈R，使不等式f（x）≤|2m-3|成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）转化函数为分段函数，把关于x的不等式f（x）＞8转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
（2）利用绝对值的几何意义，求得f（x）的最小值，即可求得m的范围．

解答 解：（1）①$\left\{{\begin{array}{l}{x＜-1}\\{-4x+2＞8}\end{array}}\right.$，解得：$x＜-\frac{3}{2}$；
②$\left\{{\begin{array}{l}{-1≤x＜2}\\{6＞8}\end{array}}\right.$无解；
③$\left\{{\begin{array}{l}{x≥2}\\{4x-2＞8}\end{array}}\right.$解得：$x＞\frac{5}{2}$；
∴原不等式的解集为$\left\{{x|x＜-\frac{3}{2}或x＞\frac{5}{2}}\right\}$；
（2）∵f（x）=|2x+2|+|2x-4|，
∴f（x）≥|2x+2-（2x-4）|=6，
∴?x∈R，使f（x）≤|2m-3|成立，
∴f（x）_min=6≤|2m-3|，解得：$m≤-\frac{3}{2}$或$m≥\frac{9}{2}$，
∴实数m的取值范围为：$m≤-\frac{3}{2}$或$m≥\frac{9}{2}$．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值的几何意义，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．