Question

7．已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD=2，AB=1，PA⊥平面ABCD，E、F分别是线段AB、BC的中点．
（1）证明：PF⊥FD
（2）若PA=1，求点A到平面PFD的距离．

Answer 1

分析 （1）连接AF，通过计算利用勾股定理证明DF⊥AF，证明DF⊥PA，推出DF⊥平面PAF，然后证明DF⊥PF．
（2）通过V_A-PFD=V_P-AFD，转化求解点A到平面PFD的距离即可．

解答 （1）证明：连接AF，则$AF=\sqrt{2}$，$DF=\sqrt{2}$，
又AD=2，∴DF²+AF²=AD²，∴DF⊥AF，
又PA⊥平面ABCD，∴DF⊥PA，又PA∩AF=A，
∴DF⊥平面PAF，
又PF?平面PAF，
∴DF⊥PF．
（2）解：${V_{P-AFD}}=\frac{1}{3}{S_{△AFD}}•PA=\frac{1}{3}×1×1=\frac{1}{3}$，
∵V_A-PFD=V_P-AFD，
∴${V_{A-PFD}}=\frac{1}{3}{S_{△PFD}}•h=\frac{1}{3}•\frac{{\sqrt{6}}}{2}•h=\frac{1}{3}$，
解得$h=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
即点A到平面PFD的距离为$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．

点评 本题考查直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用，点到平面的距离距离的求法，考查计算能力以及空间想象能力．