Question

18．已知直线x=$\frac{π}{4}$与直线x=$\frac{5π}{4}$是函数$f（x）=sin（{ωx+φ}）（{ω＞0，-\frac{π}{2}＜φ＜\frac{π}{2}}）$的图象的两条相邻的对称轴．
（1）求ω，φ的值；
（2）若$α∈（{-\frac{3π}{4}，-\frac{π}{4}}）$，f（α）=-$\frac{4}{5}$，求sinα的值．

Answer 1

分析 （1）由题意及正弦函数的图象和性质可求函数的最小正周期T，由周期公式可求ω，由函数f（x）关于直线$x=\frac{π}{4}$对称，可得$φ=\frac{π}{4}+kπ，k∈Z$，结合范围$-\frac{π}{2}＜φ＜\frac{π}{2}$，即可解得φ的值．
（2）由（1）得$sin（α+\frac{π}{4}）=-\frac{4}{5}$，由$α∈（-\frac{3π}{4}，-\frac{π}{4}）$，得$α+\frac{π}{4}∈（-\frac{π}{2}，0）$．可求$cos（α+\frac{π}{4}）=\frac{3}{5}$，利用两角差的正弦函数公式即可求值得解．

解答 解：（1）因为直线$x=\frac{π}{4}$、$x=\frac{5π}{4}$是函数f（x）=sin（ωx+φ）图象的两条相邻的对称轴，
所以，函数的最小正周期T=2×$（\frac{5π}{4}-\frac{π}{4}）$=2π，从而$ω=\frac{2π}{T}=\frac{2π}{2π}=1$，
因为函数f（x）关于直线$x=\frac{π}{4}$对称．
所以$\frac{π}{4}+φ=\frac{π}{2}+kπ，k∈Z$，即$φ=\frac{π}{4}+kπ，k∈Z$．…（5分）
又因为$-\frac{π}{2}＜φ＜\frac{π}{2}$，
所以$φ=\frac{π}{4}$．…（6分） 
（2）由（1），得$f（x）=sin（x+\frac{π}{4}）$．由题意，$sin（α+\frac{π}{4}）=-\frac{4}{5}$．…（7分）
由$α∈（-\frac{3π}{4}，-\frac{π}{4}）$，得$α+\frac{π}{4}∈（-\frac{π}{2}，0）$．
从而$cos（α+\frac{π}{4}）=\frac{3}{5}$．…（8分）
$sinα=sin[（α+\frac{π}{4}）-\frac{π}{4}]=sin（α+\frac{π}{4}）cos\frac{π}{4}-cos（α+\frac{π}{4}）sin\frac{π}{4}$，…（10分）
=$-\frac{4}{5}×\frac{{\sqrt{2}}}{2}-\frac{3}{5}×\frac{{\sqrt{2}}}{2}=-\frac{{7\sqrt{2}}}{10}$．…（12分）

点评 本题主要考查了正弦函数的图象和性质，周期公式，两角差的正弦函数公式的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．