Question

2．已知函数f（x）=2cos²x+asinx-3．
（1）若a=3，且x≠$\frac{π}{2}$+2kπ（k∈Z），求函数f（x）的零点；
（2）若a=-8，求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）a=3，求得f（x）的解析式，根据同角三角函数的基本关系求得f（x）=-2sin²x+3sinx-1，设t=sinx（-1≤t＜1），令f（t）=0，求得t=$\frac{1}{2}$，即可求得x=2kπ+$\frac{π}{6}$或2kπ+$\frac{5π}{6}$，求得函数f（x）的零点；
（2）若a=-8时，根据同角三角函数的基本关系，f（x）=-2sin²x-8sinx-1，令t=sinx（-1≤t≤1），f（t）=-2t²-8t-1（-1≤t≤1），由二次函数的开口向下，图象在-1≤t≤1上单调递减，即可求得函数f（x）的值域．

解答 解：（1）若a=3，f（x）=2cos²x+3sinx-3=2（1-sin²x）+3sinx-3，
=-2sin²x+3sinx-1，
令t=sinx，
∴f（t）=-2t²+3t-1，
∵x≠$\frac{π}{2}$+2kπ，
∴sinx≠1，即（-1≤t＜1）
令f（t）=0
2t²-3t+1=0，（2t-1）（t-1）=0
t=$\frac{1}{2}$或1，因为t≠1，
所以t=$\frac{1}{2}$，
即sinx=$\frac{1}{2}$，
x=2kπ+$\frac{π}{6}$或2kπ+$\frac{5π}{6}$，
所以f（x）的零点为2kπ+$\frac{π}{6}$和2kπ+$\frac{5π}{6}$（k∈Z），
（2）若a=-8时，f（x）=2cos²x-8sinx-3，
=-2sin²x-8sinx-1，
令t=sinx，
∴f（t）=-2t²-8t-1（-1≤t≤1），
二次函数中a=-2＜0，开口向下
对称轴x=-$\frac{b}{2a}$=-2，图象在-1≤t≤1上单调递减，
f（t）_max=f（-1）=-2+8-1=5
f（t）_min=f（1）=-2-8-1=-11
∴函数f（x）的值域为[-11，5]．

点评 本题考查判断函数的零点及二次函数的图象及性质，考查换元法的应用，根据二次函数图象判断函数单调性及值域，属于中档题．