Question

12．已知曲线C的方程为（x-3）²+（x-4）²=16，直线l₁：kx-y-k=0和l₂：x+2y+4=0，直线l₁与曲线C交于不相同的两点P，Q．
（1）求k的范围；
（2）若l₁与x轴的交点为A，设PQ中点M，l₁与l₂的交点为N，求证：|AN|•|AM|为定值．

Answer 1

分析 （1）圆心（3，4）到l₁的距离$d=\frac{{|{2k-4}|}}{{\sqrt{1+{k^2}}}}＜4$，解出即可得出．
（2）直线l₁：kx-y-k=0恒过定点（1，0），所以点A的坐标为（1，0），如图所示：将l₁方程代入圆方程，
整理得（1+k）²x²-[6+2k（k+4）]•x+k²+8k+9=0．由韦达定理和中点的坐标公式可得M坐标．解方程组$\left\{{\begin{array}{l}{kx-y-k=0}\\{x+2y+4=0}\end{array}}\right.$，可得N坐标．再由两点间的距离公式化简得|AM|•|AN|．

解答 （1）解：圆心（3，4）到l₁的距离$d=\frac{{|{2k-4}|}}{{\sqrt{1+{k^2}}}}＜4$，
即$\frac{{2{k^2}-8k+8}}{{1+{k^2}}}＜8$，解得$k＞0或k＜-\frac{4}{3}$．
（2）证明：直线l₁：kx-y-k=0恒过定点（1，0），
所以点A的坐标为（1，0），如图所示：将l₁方程代入圆方程，
整理得（1+k）²x²-[6+2k（k+4）]•x+k²+8k+9=0．
由韦达定理和中点的坐标公式知：${x_M}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=\frac{{3+k（{k+4}）}}{{1+{k^2}}}$，
因此，y_M=$\frac{4{k}^{2}+2k}{1+{k}^{2}}$．
解方程组$\left\{{\begin{array}{l}{kx-y-k=0}\\{x+2y+4=0}\end{array}}\right.$，得$\left\{{\begin{array}{l}{x=\frac{2k-4}{2k+1}}\\{y=\frac{-5k}{2k+1}}\end{array}}\right.$，即$N（{\frac{2k-4}{2k+1}，\frac{-5k}{2k+1}}）$．
再由两点间的距离公式化简得|AM|•|AN|=10．

点评 本题考查了直线与圆的方程、点到直线的距离公式、一元二次方程的根与系数的关系、中点坐标公式、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．