Question

16．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B均在单位圆上，已知点A在第一象限，横坐标为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，点B在第二象限．若△AOB为正三角形，则点B的坐标为B（$\frac{\sqrt{3}-3\sqrt{2}}{6}$，$\frac{3+\sqrt{6}}{6}$）．

Answer 1

分析 利用任意角的三角函数的定义，结合两角和差的正弦公式和两角和差的余弦公式进行化简求解即可．

解答 解：设∠COA=θ
∵点A在第一象限，横坐标为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴cosθ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，sinθ=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∵△AOB为正三角形，∴B（cos（θ+60°），sin（θ+60°），
∵cos（θ+60°）=$\frac{1}{2}$cosθ-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinθ=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{\sqrt{6}}{3}$=$\frac{\sqrt{3}-3\sqrt{2}}{6}$，
sin（θ+60°）=$\frac{1}{2}$sinθ+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosθ=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{6}}{3}$+$\frac{\sqrt{3}}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3+\sqrt{6}}{6}$，
即B（$\frac{\sqrt{3}-3\sqrt{2}}{6}$，$\frac{3+\sqrt{6}}{6}$）．
故答案为：

点评 本题考查任意角的三角函数的定义，利用两角和差的正弦公式和两角和差的余弦公式进行化简是解决本题的关键．