Question

10．设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，外接圆半径为R，则$r=\frac{2S}{a+b+c}$，类比得四面体S-ABCD的四个侧面的面积分别为S₁，S₂，S₃，S₄，四面体S-ABCD的体积为V，内切球的半径为R，则R=$R=\frac{3V}{{{S_1}+{S_2}+{S_3}+{S_4}}}$．

Answer 1

分析 根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线 类比 直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可．

解答 解：设四面体的内切球的球心为O，
则球心O到四个面的距离都是R，
所以四面体的体积等于以O为顶点，
分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．
则四面体的体积为V=$\frac{1}{3}$（S₁+S₂+S₃+S₄）R
所以$R=\frac{3V}{{{S_1}+{S_2}+{S_3}+{S_4}}}$．
故答案为：$R=\frac{3V}{{{S_1}+{S_2}+{S_3}+{S_4}}}$．

点评 类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去．一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或者一致性．②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或猜想）．