Question

16．若不等式ax＞lnx对x∈（0，+∞）恒成立，则（　　）

• A． a＞1-e
• B． a＞0
• C． a＜$\frac{1}{e}$
• D． a＞$\frac{1}{e}$

Answer 1

分析 f′（x）=a-$\frac{1}{x}$，（x＞0），由f′（x）=a-$\frac{1}{x}$=0，得a=$\frac{1}{x}$＞0．从而导出f（x）=ax-lnx在a=$\frac{1}{x}$，即x=$\frac{1}{a}$时，取最小值：f（x）_min=f（$\frac{1}{a}$）=1-lna＞0，所以0＜lna＜1，由此能求出实数a的取值范围．

解答 解：令f（x）=ax-lnx，（x＞0），
∵f′（x）=a-$\frac{1}{x}$，（x＞0）
∴由f′（x）=a-$\frac{1}{x}$=0，得a=$\frac{1}{x}$＞0
∴由f′（x）=a-$\frac{1}{x}$＞0，得a＞$\frac{1}{x}$，
x＞$\frac{1}{a}$时f（x）=ax-lnx是增函数，增区间是（$\frac{1}{a}$，+∞）．
∴由f′（x）=a-$\frac{1}{x}$＜0，得a＜$\frac{1}{x}$，
∴x＜$\frac{1}{a}$时f（x）=ax-lnx是减函数，减区间是（0，$\frac{1}{a}$）；
∴f（x）=ax-lnx在x=$\frac{1}{a}$时，取最小值：
f（x）min=f（$\frac{1}{a}$）=1-ln（$\frac{1}{a}$）＞0，
∴0＜ln（$\frac{1}{a}$）＜1，
∴e＞$\frac{1}{a}$．
∴实数a的取值范围是（$\frac{1}{e}$，+∞）．
故选：D．

点评 本题考查实数a的取值范围，是中档题．解题时要认真审题，仔细解答，注意导数的性质的灵活运用．