题目内容
18．若（a-2）（a-1）x2+2（a-2）x-4＜0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是（$\frac{6}{5}$，2]．分析 将不等式看成二次函数恒成立问题，利用二次函数＜0对一切x∈R恒成立，可得（a-2）（a-1）＜0，△＜0，即可求解实数a的取值范围．（注意对二次项系数=0讨论）
解答 解：由题意：（a-2）（a-1）x2+2（a-2）x-4＜0对一切x∈R恒成立，
当（a-2）（a-1）≠0时，
由二次函数的性质可得（a-2）（a-1）＜0，△＜0，
即$\left\{\begin{array}{l}{（a-2）（a-1）＜0}\\{4（a-2）^{2}+16（a-2）（a-1）＜0}\end{array}\right.$
解得：$\frac{6}{5}＜a＜2$，
当a-2=0时，即-4＜0对一切x∈R恒成立，
所以实数a的取值范围是（$\frac{6}{5}$，2]．
点评 本题主要考查了函数恒成立问题的求解，分类讨论以及转化思想的应用．利用了二次函数数的性质．属于中档题．
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