Question

8．已知点P₁（-2，3），P₂（0，1），圆C是以P₁P₂的中点为圆心，$\frac{1}{2}$|P₁P₂|为半径的圆．
（Ⅰ）若圆C的切线在x轴和y轴上截距相等，求切线方程；
（Ⅱ）若P（x，y）是圆C外一点，从P向圆C引切线PM，M为切点，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求使|PM|最小的点P的坐标．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出圆心与半径，可得圆C的方程，再分类讨论，设出切线方程，利用直线是切线建立方程，即可得出结论；
（Ⅱ）先确定P的轨迹方程，再利用要使|PM|最小，只要|PO|最小即可．

解答 解：（Ⅰ）∵点P₁（-2，3），P₂（0，1），圆C是以P₁P₂的中点为圆心，$\frac{1}{2}$|P₁P₂|为半径的圆
∴C（-1，2），$\frac{1}{2}$|P₁P₂|=$\sqrt{2}$
∴圆C的方程为（x+1）²+（y-2）²=2，
当切线过原点时，设切线方程为y=kx，则$\frac{|k+2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{2}$，
∴k=2±$\sqrt{6}$，即切线方程为y=（2±$\sqrt{6}$）x．
当切线不过原点时，设切线方程为x+y=a，则$\frac{|-1+2-a|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴a=-1或a=3，即切线方程为x+y+1=0或x+y-3=0．
综上知，切线方程为y=（2±$\sqrt{6}$）x或x+y+1=0或x+y-3=0；
（Ⅱ）因为|PO|²+r²=|PC|²，所以x₁²+y₁²+2=（x₁+1）²+（y₁-2）²，即2x₁-4y₁+3=0．
要使|PM|最小，只要|PO|最小即可．
当直线PO垂直于直线2x-4y+3=0时，即直线PO的方程为2x+y=0时，|PM|最小，
此时P点即为两直线的交点，得P点坐标（-$\frac{3}{10}$，$\frac{3}{5}$）．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．