Question

如图，棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，O为其中心，M是线段DC₁上的动点，设DM在棱DC上的投影为x，点M到点O的距离为d，则d关于x的函数d=f（x）的图象大致为（　　）

• A、
• B、
• C、
• D、

Answer 1

考点：函数的图象,空间向量的夹角与距离求解公式

专题：函数的性质及应用,空间向量及应用

分析：先建立空间直角坐标系，由题意给出已知的所求的点的坐标，然后根据两点间距离公式把M到点O的距离为d表示出来，得到d关于x的函数d=f（x），再根据函数d=f（x）的性质研究其图象特点求解．

解答：解：由题意，以D为原点，DA，DC，DD₁所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
由已知得O(

1

2

，

1

2

，

1

2

)，又因为DM在棱DC上的投影为x，所以设M（0，x，x），所以

MO

=(

1

2

，

1

2

-x，

1

2

-x)，
则点M到点O的距离为d=|

MO

|=

( 1 2 )2+2(x- 1 2 )2

=

2(x- 1 2 )2+ 1 4

，（0＜x＜1），
因为二次函数y=2(x-

1

2

)2+

1

4

在(0，

1

2

)递减，在(

1

2

，1)递增．且恒大于0，四个选项中只有A项满足．
故选：A．

点评：该题的关键是能够根据“DM在棱DC上的投影为x”给出点M坐标（0，x，x），而根据两点间距离公式将d表示成x的函数，再利用二次函数的性质研究其图象则属于常规问题．