Question

7．已知α，β∈（0，$\frac{π}{2}$），满足tan（α+β）=9tanβ，则tanα的最大值为$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 利用两角和的正切将tan（α+β）=9tanβ转化，整理为关于tanβ的一元二次方程，利用题意，结合韦达定理即可求得答案．

解答 解：∵tan（α+β）=9tanβ，
∴$\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}$=9tanβ，
∴9tanαtan²β-8tanβ+tanα=0，①
∴α，β∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴方程①有两正根，tanα＞0，
∴△=64-36tan²α≥0，
∴0＜tanα≤$\frac{4}{3}$．
∴tanα的最大值是$\frac{4}{3}$．
故答案为：$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查两角和与差的正切函数，考查一元二次方程中韦达定理的应用，考查转化思想与方程思想，也可以先求得tanα，再利用基本不等式予以解决，属于中档题．