Question

19．己知函数f（x）=log₂（-x²+2x+3）的定义域为A，函数g（x）=$\frac{1}{x}$，x∈（-3，0）∪（0，1）的值域为B，不等式2x²+mx-8＜0的解集为C
（1）求A∪（∁_RB）、A∩B
（2）若同时满足A，B的x值也满足C，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）解一元二次不等式化简集合A，由函数g（x）=$\frac{1}{x}$，x∈（-3，0）∪（0，1）求出集合B，再求出∁_RB，再由交、并集的运算性质得答案；
（2）由同时满足A，B的x值也满足C，得A∩B⊆C，设f（x）=2x²+mx-8，由f（x）的图象可知；方程的小根小于或等于-1，大根大于或等于3时，列出不等式组，求解即可得答案．

解答 解：（1）函数f（x）=log₂（-x²+2x+3）的定义域为A，则A={x|-x²+2x+3＞0}=（-1，3），
函数g（x）=$\frac{1}{x}$，x∈（-3，0）∪（0，1）的值域为B，则B=（-∞，$-\frac{1}{3}$）∪（1，+∞），∁_RB=[$-\frac{1}{3}$，1]，
则A∪（∁_RB）=（-1，3）∪[$-\frac{1}{3}$，1]=（-1，3），
A∩B=（-1，3）∩（-∞，$-\frac{1}{3}$）∪（1，+∞）=（-1，$-\frac{1}{3}$）∪（1，3）；
（2）由同时满足A，B的x值也满足C，得A∩B⊆C，
设f（x）=2x²+mx-8，由f（x）的图象可知；方程的小根小于或等于-1，大根大于或等于3时，
即可满足A∩B⊆C，
∴$\left\{\begin{array}{l}f（-1）≤0\\ f（3）≤0\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{2-m-8≤0}\\{3m+10≤0}\end{array}\right.$，
∴$-6≤m≤-\frac{10}{3}$．

点评 本题考查了交、并、补集的混合运算，考查了一元二次不等式的解法，是中档题．