Question

6．若直线l交抛物线C：y²=2px（p＞0）于两不同点A，B，且|AB|=3p，则线段AB中点M到y轴距离的最小值为（　　）

• A． $\frac{p}{2}$
• B． p
• C． $\frac{3p}{2}$
• D． 2p

Answer 1

分析 l：x=-$\frac{p}{2}$，分别过A，B，M作AC⊥l，BD⊥l，MH⊥l，垂足分别为C，D，H，要求M到y轴的最小距离，只要先由抛物线的定义求M到抛物线的准线的最小距离d，然后用d-$\frac{p}{2}$，即可求解．

解答 解：由题意可得抛物线的准线l：x=-$\frac{p}{2}$
分别过A，B，M作AC⊥l，BD⊥l，MH⊥l，垂足分别为C，D，H
在直角梯形ABDC中，MH=$\frac{1}{2}$（AC+BD），
由抛物线的定义可知AC=AF，BD=BF（F为抛物线的焦点）
MH=$\frac{1}{2}$（AE+BF）≥$\frac{1}{2}$AB=$\frac{3}{2}$p
即AB的中点M到抛物线的准线的最小距离为$\frac{3}{2}$p，
∴线段AB中点M到y轴距离的最小值为$\frac{3}{2}$p-$\frac{p}{2}$=p，
故选：B．

点评 本题考查线段中点到y轴距离的最小值的求法，解题时要认真审题，注意抛物线性质的合理运用，属于中档题．