Question

7．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，E为AC与BD的交点，PA⊥平面ABCD，M为PA中点，N为BC中点．
（1）证明：直线MN∥平面PCD；
（2）若点Q为PC中点，∠BAD=120°，PA=$\sqrt{3}$，AB=1，求三棱锥A-QCD的体积．

Answer 1

分析 （1）取PD中点R，连结MR，CR，通过证明四边形MNCR是平行四边形得出MN∥CR，于是MN∥平面PCD；
（2）棱锥Q-ACD的底面△ACD为等边三角形，高为PA的$\frac{1}{2}$，代入体积公式计算即可．

解答 解：（1）取PD中点R，连结MR，CR，
∵M是PA的中点，R是PD的中点，
∴MR=$\frac{1}{2}$AD，MR∥AD，
∵四边形ABCD是菱形，N为BC的中点，
∴NC=$\frac{1}{2}AD$，NC∥AD．
∴NC∥MR，NC=MR，
∴四边形MNCR为平行四边形，
∴MN∥CR，又CR?平面PCD，MN?平面PCD，
∴MN∥平面PCD．
（2）∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，
∴AC=AD=CD=1，∴${S_{△ACD}}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}$．
∵Q是PC的中点，∴Q到平面ABCD的距离h=$\frac{1}{2}$PA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴${V_{A-QCD}}={V_{Q-ACD}}=\frac{1}{3}×{S_{△ACD}}×\frac{1}{2}PA=\frac{1}{8}$．

点评 本题考查了线面平行的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．