Question

9．已知a，b，c∈R⁺，且ab+bc+ca=1，那么下列不等式中正确的是（　　）

• A． a²+b²+c²≥2
• B． （a+b+c）²≥3
• C． $\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$≥2$\sqrt{3}$
• D． abc（a+b+c）≥$\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 根据不等式a²+b²≥2ab及条件便可判断出选项A错误，并且可得出a²+b²+c²≥1，进而可判断选项B正确；而由条件及三个正数的算术-几何平均不等式便可判断选项C错误；先得到abc（a+b+c）=（ab）（ca）+（ab）（bc）+（ca）（bc），由条件知1=（ab+bc+ca）²，这样由不等式a²+b²≥2ab便可说明选项D错误．

解答 解：A．∵$ab≤\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}，bc≤\frac{{b}^{2}+{c}^{2}}{2}，ca≤\frac{{c}^{2}+{a}^{2}}{2}$，且ab+bc+ca=1；
∴$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}+\frac{{b}^{2}+{c}^{2}}{2}+\frac{{c}^{2}+{a}^{2}}{2}≥1$，当且仅当a=b=c=$\frac{\sqrt{3}}{3}$时取“=”；
即a²+b²+c²≥1，∴该选项错误；
B．根据上面得出的a²+b²+c²≥1，及ab+bc+ca=1得：
（a+b+c）²=a²+b²+c²+2（ab+bc+ca）
=a²+b²+c²+2
≥1+2=3；
∴该选项正确；
C．∵a，b，c∈R⁺；
∴由ab+bc+ca=1得，$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{abc}$；
∴$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}≥3\root{3}{\frac{1}{abc}}$=$3\root{3}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}$，当且仅当a=b=c=$\frac{\sqrt{3}}{3}$时取等号；
∴$（\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}）^{2}≥27$；
∴$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}≥3\sqrt{3}$，∴该选项错误；
D．abc（a+b+c）=（ab）（ca）+（ab）（bc）+（ca）（bc）；
又1=（ab+bc+ca）²
=（ab）²+（bc）²+（ca）²+2[（ab）（bc）+（ab）（ca）+（bc）（ca）]
=$[\frac{（ab）^{2}}{2}+\frac{（bc）^{2}}{2}]+[\frac{（ab）^{2}}{2}+\frac{（ca）^{2}}{2}]$$+[\frac{（bc）^{2}}{2}+\frac{（ca）^{2}}{2}]$+2[（ab）（bc）+（ab）（ca）+（bc）（ca）]；
≥3[（ab）（bc）+（ab）（ca）+（bc）（ca）]，当且仅当a=b=c时取“=”；
∴$（ab）（bc）+（ab）（ca）+（bc）（ca）≤\frac{1}{3}$，∴该选项错误．
故选：B．

点评 考查不等式a²+b²≥2ab的运用，注意判读等号能否取到，以及三个正数的算术-几何平均不等式的运用，并判断等号能否取到，不等式的性质，完全平方式的运用．