Question

椭圆ax²＋by²＝1与直线x＋y－1＝0相交于A、B，C是AB的中点，若|AB|＝，OC的斜率为，求椭圆的方程．

Answer 1

答案：
解析：

解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程并作差，得 　　a(x1＋x2)(x1－x2)＋b(y1＋y2)(y1－y2)＝0，而＝－1， 　　，代入上式可得b＝a，再由|AB|＝， 　　即(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝8， 　　∵x1＋y1－1＝0，x2＋y2－1＝0， 　　∴x1－x2＝y2－y1．∴(x1－x2)2＝4， 　　即(x1＋x2)2－4x1x2＝4． 　　而x1、x2是方程(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0的两根，由韦达定理可得＝4． 　　又∵b＝a，∴解得a＝， 　　故所求椭圆方程是x2＋y2＝3．

提示：

对题目中某些条件的等价转化是解好有关数学题的重要手段．以AB为直径的圆过坐标原点，可利用圆的几何性质转化为与坐标有关的条件x1x2＋y1y2＝0，进而联想到韦达定理的应用．故构造方程求解．解析几何问题中有些是设而不求，如设点代入，作差变形，借助斜率、中点坐标公式等手段解题也是此类问题的常用技巧．