Question

16．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB+bcos²A=2a，则角A的最大值是$\frac{π}{6}$．

Answer 1

分析 asinAsinB+bcos²A=2a，利用正弦定理可得：sinAsinAsinB+sinBcos²A=2sinA，化为sinB=2sinA，再利用正弦定理可得：b=2a．利用余弦定理与基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵asinAsinB+bcos²A=2a，
∴sinAsinAsinB+sinBcos²A=2sinA，
∴sinB=2sinA，∴b=2a．
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{\frac{3}{4}{b}^{2}+{c}^{2}}{2bc}$≥$\frac{2\sqrt{\frac{3}{4}{b}^{2}{c}^{2}}}{2bc}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，当且仅当$\frac{\sqrt{3}}{2}$b=c时取等号．
又A∈（0，π），∴$0＜A≤\frac{π}{6}$．
∴角A的最大值是$\frac{π}{6}$．
故答案为：$\frac{π}{6}$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、基本不等式的性质、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．