Question

16．观察下列各式：1+$\frac{1}{2^2}＜\frac{3}{2}1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}＜\frac{5}{3}1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}＜\frac{7}{4}$…照此规律，当n?N^*时，1+$\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+…+\frac{1}{{{{（n+1）}^2}}}$＜$\frac{2n+1}{n+1}$．

Answer 1

分析 由已知的三个等式总结项数以及最后一项的分母变化以及右边分数变化与序号的关系，找到规律．

解答 解：观察下列各式：1+$\frac{1}{2^2}＜\frac{3}{2}1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}＜\frac{5}{3}1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}＜\frac{7}{4}$…照此规律，
发现不等式的左右两边：不等式的右边的分子是$\frac{2n+1}{n+1}$的形式，分母是n+1的形式，
故由归纳推理的模式可得：当n?N^*时，1+$\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+…+\frac{1}{{{{（n+1）}^2}}}$＜$\frac{2n+1}{n+1}$
故答案为：$\frac{2n+1}{n+1}$．

点评 本题考查了归纳推理关键是从已知的不等式发现左右两边变化与序号的关系，发现总结规律．