Question

9．函数y=sin²（x+$\frac{π}{4}$）的图象沿x轴向右平移a个单位（a＞0），所得图象关于y轴对称，当a的值最小值时，函数f（x）=2cos（x+a）-m在[0，π]内有两个不同的零点，则实数m的取值范围是（　　）

• A． [-2，$\sqrt{2}$]
• B． [-$\sqrt{2}$，2]
• C． [-2，-$\sqrt{2}$]
• D． （-2，-$\sqrt{2}$]

Answer 1

分析 首先通过三角恒等变换变形呈正弦型函数，进一步利用f（-x）=f（x）求出a的最小值，利用余弦函数的图象和性质即可求得实数m的取值范围．

解答 解：∵y=sin²（x+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1-cos（2x+\frac{π}{2}）}{2}$=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$，
∴将函数y=sin²（x+$\frac{π}{4}$）的图象沿x轴向右平移a个单位（a＞0），所得图象对应的解析式为：y=$\frac{1}{2}$sin（2x-2a）+$\frac{1}{2}$，
又∵y=$\frac{1}{2}$sin（2x-2a）+$\frac{1}{2}$为偶函数，
∴-2a=k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z，解得：a=-$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{4}$，k∈Z，
∵a＞0，
∴a_min=$\frac{π}{4}$，f（x）=2cos（x+$\frac{π}{4}$）-m，x∈[0，π]，
令t=x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]，则m=2cost，t∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]，
∴利用余弦函数的图象和性质可知：-2$＜m≤-\sqrt{2}$．
故选：C．

点评 本题主要考查的知识要点：三角函数的恒等变形，函数图象的平移变换，关于图象的对称问题，考查了计算能力和数形结合思想，属于中档题．